En matemáticas, cuando los elementos de algún conjunto S tienen una noción de equivalencia definida en ellos (formalizada como una relación de equivalencia), entonces se puede dividir naturalmente el conjunto S en clases de equivalencia. Estas clases de equivalencia se construyen de modo que los elementos a y b pertenecen a la misma clase de equivalencia si y solo si son equivalentes.
Formalmente, dado un conjunto S y una relación de equivalencia ~ en S, la clase de equivalencia de un elemento a en S es el conjunto
de elementos que son equivalentes al elemento a. Puede demostrarse a partir de las propiedades definitorias de las relaciones de equivalencia que las clases de equivalencia forman una partición de S. Esta partición, el conjunto de clases de equivalencia, a veces se denomina conjunto cociente o espacio de cocientes de S respecto a ~ y se denota por S / ~.
Cuando el conjunto S tiene alguna estructura (como una operación de grupo o una topología) y la relación de equivalencia ~ es compatible con esta estructura, el conjunto del cociente a menudo hereda una estructura similar a la de su conjunto origen. Los ejemplos incluyen espacios cocientes en álgebra lineal, espacios cocientes en topología, grupos cocientes, espacios homogéneos, anillos cocientes, monoides cocientes y categorías cocientes.
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